一、数学悖论

1、讲座旨在激发西浦同学数学学习兴趣，引导进行兴趣导向型研究学习。普及数学知识，拓展数学视野。

2、甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”

3、大名鼎鼎的罗素悖论(也称理发师悖论)，直接导致了第三次数学危机的出现。

4、△来源：数据与算法之美▼

5、芝诺(约公元前490～前425)。芝诺以其悖论闻名，他一生曾巧妙地构想出40多个悖论，在流传下来的悖论中以关于运动的四个“无限微妙、无限深邃”的悖论最为著名。他提出这些悖论很可能是为他老师的哲学观点辩护。关老师总把“阿基里斯追龟悖论”挂在嘴边(小脚老太婆)，然而这四个悖论组合在一起有着奇妙的魅力。二分法悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。因为在进行

6、说谎者悖论──“我正在说的这句话是谎话！”

7、分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。

8、三门问题及其相关问题(概率)

9、悖论读音为bèilùn，是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

10、“饮酒悖论”由于雷蒙德·斯穆里安(RaymondSmullyan)的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》(WhatIstheNameofthisBook?)。

11、脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。

12、对于有些涉及无限的古典悖论，如芝诺悖论中的“阿基里斯悖论和飞矢不动悖论，尽管可以看出其谬误(既：应该用微积分来处理“无限”)，但其逻辑推理方式在当时是基本被认可的，所以在当时是可以称为悖论。但是，微积分出现以后，可以看出芝诺悖论的推理中用有谬误的推理过程，应该归类于谬误。

13、在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

14、概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

15、这句话，乙同学能回答出来吗？

16、数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。

17、蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动。现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

18、集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。

19、现在，将(1)式两边乘以我们就得到：

20、你的儿女其实不是你的，你要做的是这十点|视频

二、数学悖论的例子

1、哪里可能出错了呢？再一次，当我们违反一条数学规则时，就出现了一个“谬误”这里我们定义a和b中至少有一个是非负数时，才成立。这就意味着按照进行计算的人错了。

2、有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”

3、脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？

4、假定“我说的这句话是假的”为真。既然此语句为真，但它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句是假的！如果“我说的这句话是假的”为假，它就必须是真的，所以它不可能是假的。这个悖论是本质性的，难以消除。

5、“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。

6、凭借高中所学知识足以理解

7、脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。

8、在世界数学史当中，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。现代有光速悖论、双生子佯谬、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。悖论的历史很悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质，以下列举三个著名而有趣的数学悖论。

9、真实性悖论是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。

10、在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。

11、“说谎者悖论”有多种变化形式，下面的几个类似的悖论请同学们一起来试着理解：

12、小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”

13、我教霍尔果斯市莫乎尔的孩子们“学好数学三句话”(有视频)

14、{…}是自然数平方的数集。

15、考虑的商，其中。在不承认那条除以0的戒律的情况下，让我们推测(猜想)这个商可能等于什么。让我们假设它为p，可以通过乘法看它是否等于n来检验，因为这就是除法运算正确时应该得到的结果。因为，我们知道。因此，不管商p取什么值都不能使这道除法成立，所以我们规定禁止除以0。

16、脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。

17、于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！

18、同学们，这个虔诚的教徒能回答路人的提问吗？

19、兔子和乌龟赛跑，兔子的速度是乌龟的2倍。先乌龟走10米，兔子开始走，兔子走完10米时，乌龟又走了5米，兔子走完5米时，乌龟又走了5米。。。这样，兔子永远也追不上乌龟。这就是悖论。

20、历史上，数学家解决这个问题的方案是 公理化。在康拓的朴素集合论的基础上，策梅洛和弗兰克尔提出了更为完整而完备的集合论公里系统，明确的限定了合法的集合操作。这一体系被称为ZF公理系统。

三、数学悖论与三次数学危机

1、如果不考虑收敛级数的概念，我们就会陷入以下困境。

2、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的,每一个悖论解决都是一次数学飞跃.都会一门数学分支出现,所以在中学教育适当讲几个悖论,有助于激发学生兴趣.可以讲讲根号2悖论,理发师悖论,无穷悖论.这些悖论学生基本上可以理解.这样可以活跃课堂教学效果

3、如何组织学生“课堂讨论”——“尝试反馈法”课改之教学反思|重点看文末

4、你不能解决的七个很有意思的悖论.百度文库

5、规定一切集合的集合不是集合。

6、赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。

7、研究和学习悖论的意义：

8、“我说的这句话是假的”。这个语句是真的还是假的？

9、不过，如果我们用另一种方法对其进行分组，就会得到下式：

10、最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

11、概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺；如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。

12、在除以那一步中，我们实际上是在除以0，这是因为，所以。这最终使我们得出了一个荒谬的结果，从而令我们别无选择，只能禁止除以0。

13、接下来的这个悖论似乎更简单了。有人把它归入数学中对策论的研究范畴。

14、本文只想谈点轻松的话题。其实，许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅可以令你大开眼界，还可以从中享受到无尽的乐趣。面对形形色色富于思考性、趣味性、迷惑性的问题，你必须作一点智力准备，否则可能就会在这悖论迷宫中转不出来了。看看下面的几个小故事，你就会相信此话不假。

15、我们欠孩子真正的数学阅读(附推荐目录)

16、实质条件的示意图如下：

17、因此，既然且，那么就有。这一论证过程出了什么错？

18、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！

19、关于第二次数学危机的解决，直到19世纪后，由众多数学家，比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等，建立了更严密的数学定义后，才得到彻底解决。

20、现在的问题是，一场赌博怎么会对双方都有利呢?这象不象一场机会均等的猜硬币正反面的游戏，输了只付1元，而赢了则收2元呢?据说这是个一直让数学家和逻辑学家头疼的问题。《科学美国人》杂志社一直在征求这个问题的答案呢。其实只要认真分析一下，对这个问题也不难给出有说服力的解释。

四、数学悖论有哪些

1、古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。

2、概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件(materialconditional)，对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。

3、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。都会一门数学分支出现，所以在中学教育适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。可以讲讲根号2悖论，理发师悖论，无穷悖论。这些悖论学生基本上可以理解。这样可以活跃课堂教学效果

4、悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。

5、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

6、脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。