罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展

1、在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上胡尔维茨明确地阐述康托尔创立的集合论对函数论的进展的推动作用，让集合论自诞生以来第一次得到公开的承认和热情的称赞。(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。

2、(8)FerreirosJ.LabyrinthofThought:AHistoryofSetTheoryandItsRoleinModernMathematics(M).2nded.Basel:Birkhäuser,200

3、这是微积分的基本定理，也是微积分的核心思想。至此，求曲线围成的面积不再是难题。

4、对于物质的行为，我们今天拥有非常完善和精确的定律来描述，大体上涵盖了经典力学和更大范围内的现象。量子电动力学和量子色动力学为构建物质以及它们之间的非引力作用提供了基本的定律；广义相对论则使我们对引力有了充分的描述。从这些有利条件来看，我们可以得到有关“力的文化”整个领域及其边缘的清晰图景。

5、今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。

6、然而，我们却清楚地知道这些概念的适用范围。关于物体我们将有一个呈展的、近似的概念。物理空间也会用承载欧氏几何的欧氏三维空间R3加以模型化。这一非常成功的空间模型早在欧氏几何成型以前，在测量以及民用工程上就被持续使用了上千年。

7、这次的引进成为了唯一性问题到点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

8、策梅洛在1904年发表的一篇论文使数学家们意识到，上述断言实际上以一条被称作选择公理(axiomofchoice)的公理为先决条件。这与当时的历史情况有某些关联。为了能将超限数按照大小来排列，康托尔需要这样的定理，即任一实数集都是良序集。一个集合是良序集首先其必须是有序的，而有序则是指，比方说，在整数的情况下，若a与b是集合中的任意两个数，则要么a位于b前，要么b位于a前。进一步地，如果有a先于b，b先于c，则a必先于c。如果一个集合的任一子集无论怎样选取都有为首元素，则它是良序集。因此，所有的正整数如果按照通常次序排列，那它就是良序的。然而，按通常次序排列的实数集是有序的但非良序的，因为它其中包含大于0的数的子集是没有为首的元素的。康托尔曾猜测每个集合都可以良序化，他于1883年引入了这一概念，虽曾使用却未被证明。而且，我们可能还记得，希尔伯特曾在1900年的国际数学家大会讲演中提出这个问题。策梅洛在1904年证明了这个定理，并在证明过程中提醒大家注意他运用了选择公理这一事实。

9、   如上所述,数理逻辑的现代发展并不是逻辑数学化的直接结果,而是由算术基础的研究所引发,并在对这一问题的深入研究中得到促进的.这种现象在数学史乃至更一般的科学史上似乎并不罕见,例如,被希尔伯特形容为“会下金蛋的鹅”(25,p.154)的费马大定理,其漫长的证明历程不但孕育出代数数论,而且促进了代数几何的发展.而1928年弗莱明(AlexanderFleming)在培养葡萄球菌的实验中意外发现青霉素的过程,同样是“无心插柳柳成荫”,成为人类医学史上的一个里程碑,开启了抗生素时代.我们也注意到,在其发展进程中,算术基础研究曾经历过两次危机,一次是罗素悖论之于弗雷格的工作,另一次是哥德尔的证明之于希尔伯特计划,然而这两次危机并没有阻碍数理逻辑和数学基础的发展,反而成为开辟新方向的促动力.正可谓“山重水复疑无路,柳暗花明又一村.”纵观整个数学发展史,又何尝不是如此呢?

10、(4)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P1

11、另一主题是说F=ma不是任何意义上的最终真理。从近代基础物理我们能理解，它是如何在广泛但却有限的情况下是作为近似出现的。同样，这并不妨碍它特别有用：它的一个主要优点是使我们免于承受为了追求不相关的精确而带来的不必要的麻烦。

12、然而数学的发展最终证明康托是正确的。康托创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。

13、没多久，康托尔出版的单行本《一般集合论基础》引进了超穷数，并建立了点集论体系。而他的最后一部数学著作《对超穷集合论基础的贡献》，让点集论过渡到抽象集合论，但还没涉及到公理化。

14、如何解释斯科伦悖论，即ZF公理集合论系统如果是一致的，则必存在可数模型(Lowenheim-Skolem定理)，而这与ZF蕴含了不可数集的存在相矛盾？(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。

15、从以上段落我们了解到,尽管罗素曾接触过弗雷格的著作,但实际上他是在阅读了佩亚诺的书评后才发现弗雷格的.此外,这段文字似乎传达了这样一种印象,即罗素在开始阅读弗雷格的著作时,就已经独立于后者做过他早先所做的事情.然而这一点应该打个问号.很有可能罗素只是有过和弗雷格一样的想法,即算术甚至全部数学可以化归为逻辑.因为在他与怀特海合写的《数学原理》(3卷,1910-1913)第一卷前言中,我们读到了以下文字(16,p.viii-ix):“在记号方面,我们已经尽可能地追随佩亚诺,…在所有关于逻辑分析的问题方面,我们主要得益于弗雷格.”因此,《数学原理》某种意义上可以看作弗雷格和佩亚诺工作的结合.当然,这部著作也包括了罗素本人的重要贡献.其中之一是他为消除悖论而引入的分支类型论.另外,与他的前辈不同,罗素在《数学原理》中所关心的并不是普通算术,而是康托尔的超穷算术.

16、在微积分中，有一个以两人命名的牛顿-莱布尼茨公式，如下：

17、他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了。

18、  (15)RussellB.PortraitsfromMemoryandOtherEssays(M).NewYork:SimonandSchuster,19

19、也就是说，在普罗克拉斯看来，无穷只能是一种概念，而不是一个数，而无穷中存在的对应关系也被他直接忽略掉。

20、(5)(以)尤瓦尔·赫拉利2012:《人类简史:从动物到上帝》中信出版社中译本2014P

21、  摘要：19世纪数学史上曾发生过两个重要事件，一个是非欧几何的发现，另一个是分析的严格化。这两个事件虽然互不相关，但却，殊途同归，最终都向了算术基础的研究。在本文中我们将试图揭示算术基础研闷如面促进时数理逻辑的产生和发展，以及这两方面之间的相互影响。

22、康托尔把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托尔认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托尔来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的，代数数是可数的.康托尔最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。

23、P 设k是任何类,如果1ek,且对任何自然数n,有nek推出n+1ek,则k包含所有的自然数.

24、历史似乎一再重复自身，这使得我们不得不在开展对数学基础三大流派的讨论前先对中世纪共相(universal)问题及其流派予以说明。

25、2019年秋，部分省份的高一年级新生开始实施新课程、使用新教材。但是无论怎么改动，你会发现，翻开高中数学课本的第一页，你看到的永远都是这句话。

26、之前我论述了那些关于力和质量的假设是怎样为公式F=ma的内涵赋予实质的。我将这一系列的假设称为“力的文化”。我提到，尽管“力的文化”中的一些元素经常被称为“定律”，但是用近代物理的观点来看却显得非常奇怪。在此，我将讨论其中某些假设是在什么样的情况下如何作为近代物理基本原理之必然推论出现的——或者根本就不是。

27、在他看来,“事物”(或个体)、“系统”(或集合)和“映射”这些基本概念不再是可化归的,因此它们不可能用更基本的东西来定义.人们只需知道用它们可以做什么,更具体地讲就是,如何用它们将算术重构出来.戴德金1888年关于自然数给出的公理化定义是高度技术性的,并使用了他本人引入的专门术语和符号(p.808).而他于1890年2月27日写给汉堡的一位中学校长克费施泰因(HansKeferstein)的信中则用更简单的语言表述了他的思想(10,pp.100-101).以下是我们从其中摘录的要点:

28、你认为一阶语言的表达能力是否已经足够？若是，谈谈理由，若否，提出一些你认为可以进一步扩展一阶语言表达能力的手段。

29、集合论是现代数学的基础，是连接初等数学和高等数学的跳板。

30、康托尔意识到无穷集合的重要性，勇敢的选择了大家避之不及的无穷进行研究，并连续发表论文论证集合论。

31、直到同为毕达哥斯拉学派的希泊索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？用勾股定理论证得出。他发现这里的c既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

32、现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类。因此这个概念的外延(如果我们可以谈论它的外延的话)就是，不属于自身的那些类构成的类。为简化起见，我们称它为类K。那么，这个类K是不是属于自身。首先，让我们假定它属于自身。如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念。这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类。因此我们的第一个假定导致自相矛盾。第让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于自身为其外延的概念，因此就属于自身。这里我们又一次得到同样的矛盾。(转引自ErnstSnapper，1979)

33、本文通过数学基础三大流派与中世纪关于共相问题的讨论中的三个流派一一对应比附，探讨了不同数学基础流派的观点，以及各个流派之间的互动关系。面对逻辑主义将逻辑-数学与世界实体建立自然对应关系这一方案所面临的危机，直觉主义者求助对于古典数学的全面重建，而形式主义者保留了古典数学的全部形式内容，却掏空了它的意涵，将其化为一种符号游戏。

34、然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。

35、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

36、历史学家把中世纪关于共相的三个主要观点成为实在论、概念论和唯名论。实质上，同样这三个学说以逻辑主义、直觉主义和形式主义的新名称再度出现于20世纪数理哲学的观点中。

37、据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”(大全集)。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。

38、(2)(美)查尔斯·塞弗2000：《神奇的数字零——对宇宙与物理的数学解读》中译本海南出版社2017年P1

39、所以直线的和平面的公理I—V,V1的推论中,若有矛盾,则每一个矛盾必定也在数域W的算术中出现.

40、没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：

41、为了测定可能的运动，我们必需确定所有进出粒子的质量。质量是孤立粒子的内禀性质，也就是说，所有的质子都具有相同的质量，而所有的电子又具有另一个相同的质量，等等。实际上，这些粒子的能量和动量都是由众所周知的公式给出，运动是由能量守恒和动量守恒来约束的。认为进入某个运动状态的质量的总和与离开的质量的总和相等基本上是不正确的。

42、时间不断变化，越是对集合论深入研究，数学家们越是意识到集合论的重要性，而属于集合论的那份祝贺也姗然而至。

43、1924阿克曼证明了没有归纳法公理模式的算术的相容性.

44、(美)查尔斯·塞弗2000：《神奇的数字零——对宇宙与物理的数学解读》中译本海南出版社2017年

45、 随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。  既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。

46、漂亮表妹的要求，哪敢不从，那就讲讲集合论的那些事儿吧。

47、也就是说，在普罗克拉斯看来，无穷只能是一种概念，而不是一个数，而无穷中存在的对应关系也被他直接忽略掉。

48、(10)(美)William·Dunham 2005：《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》中译本人民邮电出版社2010年P

49、然而，许多20世纪早期的数学家不愿理睬上述这些悖论，因为它们涉及的集合论在当时无足轻重。其他一些人则意识到这些悖论不仅影响到经典数学，还关系到一般的推理，因而感到无所适从。一些人曾试图接受威廉·詹姆斯在他的《实用主义》中提出的建议，“当你遇到矛盾时，你必须澄清它。”从拉姆齐(3)起，一些逻辑学家曾尝试区分语义造成的矛盾和真实的逻辑上的矛盾。他们称“单词悖论”“异己的悖论”和“说谎者悖论”为语义的，因为它们涉及一个词的“真实性”(truth)和“可定义性”(definability)或模糊应用等概念。他们还认为相应地采用这些概念的严密定义能解决上述悖论。另一方面，罗素的悖论、康托尔的集合悖论和布拉利-福蒂悖论被认为是逻辑上的矛盾。罗素本人并没有做这样的区分，他确信所有悖论都产生于一种他称之为恶性循环原理的谬误，他这样描述道，“凡涉及一个集合的整体的东西必不能是该集合中的一部分。”换句话说，如果定义一组元素的集合而又必须用到该集合自身，则这样的定义是毫无意义的。这个解释是罗素在1905年时给出的，庞加莱在1906年时接受了它，他还杜撰了“涉己定义”(impredicativedefinition)1这一术语，即如果一个要定义的对象是用包含这个对象在内的一类对象来定义的，则这种定义是不合法的。

50、分球悖论，数学中一条经过严格证明的定理，可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球(半径相同，密度相同……所有性质都相同)。

51、因此,证明算术的相容性便成为当时一个至关重要的问题.在1900年召开的巴黎国际数学家大会上,希尔伯特在他关于“数学问题”的著名演讲中将这一问题列为23个问题中的第2个.他在对这一问题进行分析后指出(20,p.52):

52、克罗内克的上述论断是于1886年在柏林召开的一次会议上作出的.事实上,戴德金在30年前就已经构想了他的算术基础纲领,即从自然数出发,“以发生学方法”渐进地展开算术(8,p.218).这里我们主要涉及他在1888年出版的《数是什么,以及数应该是什么?》这本著名的小册子中关于自然数的分析.戴德金处理自然数的方法显示出了现代纯粹数学的一种突出特征:抽象和公理化.

53、表妹十分高兴：“恩...我想想...啊，要不讲下集合论？！之前课堂上老师教集合的时候有提到过，我蛮好奇这个的。”

54、符号=的意思是等于.我们将这一符号当做新的,尽管它具有逻辑符号的形式.

55、(1)LeibnizGW.PhilosophicalPapersandLetters(M).TranslatedandeditedbyLeroyE.Loemker.2nded.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,19

56、在计算力的时候，我们只将临近的物体考虑在内。为什么可以这样？包含了狭义相对论和量子力学基本要求的量子场论之局域性原理给出了某点上能量和动量(当然了，也就是力)的只依赖于临近该点的物体位置的表达式。甚至，所谓的长程电相互作用和引力(实际上1/r^2仍然随着距离增大而迅速减小)也不过反映了耦合规范场及其协变导数局域的特殊性质。

57、我们知道，所谓证伪，就是只要列出一个曾被证实结论的反例，这个结论就将被推翻。在19世纪下半叶，数学家们创造出大量奇特的反例(函数)。这些函数提出的问题包括：我们能构造出一个在每个有理点连续而在每个无理点不连续的函数吗？一个黎曼可积函数的不连续性可能达到何种地步？一个导数可以在何等程度上是不连续的？等

58、康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。

59、罗素和庞加莱对涉己定义的反对意见已经被广为接受了。不幸的是，这种定义曾经在经典数学中被采用过，引人注目的例子是最小上界的定义。设有由3到5之间的数组成的集合，其上界，也就是大于该集合中最大数的数，有8等等。这其中存在一个最小上界，即是因此，最小上界是根据一类包含了要定义上界的上界而定义的。另一个有关涉己定义的例子是一个函数给定区间上的最大值。这些概念在数学中是最基本的，许多分析内容都是基于它们的。此外，许多涉己定义还被用在其他有关的数学内容中。

60、为什么微积分有这些作用，这还得从微积分本身的一些特征说起。

61、对这些问题的回答，解决了微积分发展史上的第二次波折，使得微积分具有空前的普遍性和抽象性而更趋完善。下述这些数学家是解决这次危机的关键人物：康托尔(1845-1918)、沃尔泰拉(1860-1940)、贝尔(1874-1932)和勒贝格(1875-1941)等

62、康托尔一生深受磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十余年。康托尔虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托尔不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫无穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托尔在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。

63、集合论的诞生在当时的数学家看来是非常大逆不道的，加上康托尔悖论、罗素悖论等悖论的出现让人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑，从此反对成为了趋势。因此，所谓的经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派如雨后竹笋般迅速发展起来。

64、   但我认为有一点是肯定的,这就是推理的艺术可以达到无与伦比的高度,并且相信我不仅看到了这一点,而且已经对此作了初步的尝试,然而,如果没有数学,我几乎无法完成这一步.尽管在我还是一个数学新人之前我就发现了它的一些基本原理,并且在我20岁时已经发表了一些关于它的东西,但是我终于认识到,没有更高深数学的帮助,通向它的道路会是多么的阻塞,而要打通它们会有多么的困难.

65、(1)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P1

66、一些关于力这个简单事实的默认假设在我们头脑中已经根深蒂固了，以至于我们很容易就认为它们是理所当然的。然而，它们具有深奥的基础。

67、 a,b,ceN.Ɔa=b.b=c:Ɔ.a=c.

68、1908年，策梅罗提出第一个公理集合论系统，然后德弗兰克尔和斯科兰姆进行了修补：ZF如果另加选择公理(AC)，则所得的公理系统简记为ZFC；1925年，冯·诺伊曼开创了另一套公理系统，后经伯奈斯及哥德尔的改进形成了NBG公理系统。

69、在构造坚实的数学基础的努力中，建立相容性成为最迫切的问题。但在20世纪初，人们也认识到，从已取得的成果的角度出发，其他一些问题也并非次要。在19世纪后期，批判精神已经深入人心，数学家们开始重新审查以前所接受的一切。他们注意到了一个看起来似乎没有问题的断言，它曾经在许多早期证明中出现过，但并没有引起人们的关注。这个断言就是：给定任意一组集合，无论是有限的或是无限的，总可以在每个集合中选取一个元素构成一个新的集合。例如，可以从美国50个州中的每一个州选出一个人构成一个新的人的集合。

70、到了中世纪，越来越多人注意到部分和整体存在一一对应关系，伽利略就是其中一位。因为两个不等长线段上的点可以一一对应，伽利略意识到无穷大是有不同的“数量级”，但是他认为所有无穷大量都一样，就这样错过了成名的机会。

71、牛顿将质量定义为“物质的量”，并且假设它守恒。这种表述的内涵是构造物质的过程仅表现为“积木”的重新排布，不涉及关产生或消灭；同时，物体的质量是全体“积木”质量的总和。我们现在可以明白，何以从现代基本理论的观点来看，如果“积木”是原子核、重的原子内核和电子的话，前述这些假设依然构成绝佳的近似。

72、摘要：二十世纪上半叶，有关数学基础的讨论大量进行。罗素、弗雷格等人领导的逻辑主义运动试图将逻辑-数学与世界实体建立起自然对应关系，却因理论基础的自明性受到挑战而面临危机。随后，数学基础的三大流派，逻辑主义、直觉主义、形式主义形成分立，直觉主义者求助于对古典数学的全面重建，而形式主义者保留了古典数学的全部形式内容，却掏空了它的意涵，将其化为一种符号游戏。在蒯因(Quine)的视域下，这一分立与中世纪关于共相问题的争论中实在论、概念论和唯名论的立场分立逐一形成对应。本文旨在挖掘蒯因指出的这一线索，以数学基础的三大流派分立作为中世纪共相问题讨论的延续，展现各流派的基本观点与其间的互动关系。

73、最后，回到本文开头的问题上，微积分难不难？难！微积分是对大自然(运动)的计算，其复杂度超乎我们的想像。但微积分又是简单的，因为微积分的规则就是将复杂的计算简单化，比如各种中值定理(参见附录)。微积分的简单还体现在它的神奇之处——看似眼花缭乱的东西(运动)，都能被一一计算出来。任何人只要一想到这点，都会抖擞起精神，克服畏惧，不知不觉就会攻克微积分中一个又一个难点。

74、公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。

75、(18)HilbertD.Ontheconceptofnumber(M).//EwaldWB.(ed.)FromKanttoHilbert:ASourceBookintheFoundationsofMathematics,Vol.2,Oxford:OxfordUniversityPress,2005,1089-10

76、第罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！

77、鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！分球悖论悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。

78、“牛顿和莱布尼茨引入了两个新的数学概念：解决求切线问题的微分；和解决求积问题的积分。在某种程度上，这两种计算在过去都有人做过；积分从本质上说与卡瓦列里的‘不可分割法’是同一种东西。但过去从来没有人意识到，微分与积分互为逆运算”在牛顿那里，导数称为流数；在莱布尼茨那里，导数是原子。原本通过微分(手段)解决求(面)积(目的)问题，由于两者互逆的关系，微分与积分互为手段和目的，因而有了更广泛的用途。

79、当然，牛顿和拉瓦锡对所有的这一切一无所知。他们将质量守恒视为一个基本的原理。不过，他们这样做对了。运用这一原理，他们得以在分析运动和化学变化中取得了非凡的进步。尽管这一原理根本不成立，可它是(而且一直都是)许多定量应用的一个恰当的基础。抛弃这一原理是不可想像的。它本身是一件无价的文化的产物，而且，尽管(实际上部分是因为)其呈展的特性，它还提供了我们对世界运转方式的深刻认识。

80、  (6)OreO.NielsHenrikAbel,MathematicianExtraordinary(M).Minneapolis:UniversityofMinnesotaPress,19

81、(8)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P2

82、罗素那本书第14章的题目就是“力的剔除”。

83、(10)DedekindR.LettertoKeferstein(M).//VanHeijenoortJ.(ed)FromFregetoGödel:ASourceBookinMathematicalLogic,1879-19Cambridge,Massachusetts:HarvardUniversityPress,1967,98-10

84、公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯为了解释在研究直径分圆中发现的矛盾问题：直径可将一个圆分成两个半圆，但是直径是无穷多的，所以必须有两倍无穷多的半圆，指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆。

85、公元前5世纪，芝诺针对老师巴门尼德的“存在”不动、是一学说提出了著名的芝诺悖论，其中二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论均与无穷有关。但遗憾的是芝诺并没有在悖论中明确使用无穷集合的概念。

86、悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。(悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。)

87、(数学趣事)《数学之旅》数学发展史上的100个重大发现

88、(1)二千五百年前，柏拉图就说过，数学是上帝与人类交流的语言。冥冥之中，我们的祖先在上天(西天)没有找到上帝，却发现了佛祖。由此，西方人习惯精准表达，我们则善于悟道。

89、逻辑传统上是附属于哲学的一门学科.虽然自古希腊时代起,数学与逻辑就密不可分,然而直到17世纪才出现数理逻辑的萌芽.按字面意思,数理逻辑就是使用数学方法研究逻辑推理.从莱布尼茨到布尔,数理逻辑的先驱们正是沿着这样一条思想路线开展他们的逻辑研究工作的.在莱布尼茨1696年写给瓦格纳(GabrielWagner)的一封信中,人们可以清楚地看到这一思想路线的明确表述(1,p.467):

90、正是这最后一条规律(布尔称其为“指数律”),使得他的逻辑演算不同于通常的代数运算.有了这些装备,布尔于是可以利用他的系统进行逻辑演算并通过下面三个步骤来研究逻辑问题(3,p.389):

91、自从牛顿和莱布尼茨发明微积分以来,其逻辑基础就因缺乏严格性而受到批评和指责.在他们的微积分中,对于变量的分析往往要依靠直观的几何概念.欧拉和拉格朗日曾试图用代数原理代替几何直观,在他们写的关于无穷小演算的著作中没有出现一个几何图形.然而分析严格化的这些早期尝试只是取得了部分的成功.直到19世纪初,微积分的基本概念,如函数、极限、连续、导数和积分等都还没有恰当地定义过.对此,阿贝尔在1826年写给汉斯廷(ChristofferHansteen)的信中曾评论道(6,p.113):

92、1928希尔伯特和阿克曼的《理论逻辑原理》出版,其中给出了谓词演算的一个形式公理系统,及其相容性的一个证明,但是其完全性和判定问题仍未解决.