数学

1、注意到△ABC∽△DBA,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。(数学)。

2、函数f(x)=2x+1；但你要让我算当x=猫时的函数值，那我最多可以代数推理到这一步：

3、17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发。

4、时光荏苒，三年便提前本科毕业的袁新意再次面临抉择，尽管也不能确定自己是否能在数学研究的道路上走下去，但辽阔的世界总归值得一看。袁新意决定闯一闯，他远渡重洋，来到美国哥伦比亚大学，跟随张寿武老师学习数论。

5、有一天，他向导师张寿武寻求建议，恰巧次日复几何领域的专家萧荫堂要在哥伦比亚大学作报告，张寿武便建议他向萧荫堂请教。为了向专家提出准确的问题，袁新意当天反复检验整理自己的工作，直到鸡鸣月落。寂静总是伴随着夜晚，但灵感也往往随之生发出来。他突然意识到他不需要推广完整的证明，而只需要直接从几何学家田刚的结果出发，再用结果去证明加强的版本。些微的倦意瞬间被驱散，激动得难以自持的他立刻开始反复检查自己的思路是否正确。在激情燃烧的工作中，周围的一切似乎都淡去了，初升的太阳温暖着他，十年寒窗的辛勤探索在这一刻都变得意义非凡。阳光融化了曾经的困惑，给他留下了纯粹的拥有数学的幸福。

6、仅从社交媒体上的内容看，朱雯琪的确不太符合一个刻板印象里数学系女生的形象。她穿着露肩的黑色晚礼服，穿梭于俱乐部和酒会；和带有顶楼泳池的别墅合照；承认自己“喜欢炫耀，喜欢财富，喜欢好吃好玩，喜欢奢华的东西。”但在社交媒体之外的角落里，她又是一个纯粹的热爱数学的女孩。10岁那年，她退学后，在家学习，培养了对数学的兴趣，15岁时被牛津大学数学系录取，成为该校最年轻的华裔女生。在金融行业工作五六年后，她重新回到牛津大学数学系深造。

7、三联生活周刊：对于年轻的数学家，你是否会鼓励他们像你一样解决一个大问题？但想要解决一个大问题，可能不容易发表论文，也不容易在学术界得到一份工作。该怎么处理这个冲突？

8、一开始看到这些恶评，一点感觉也没有，因为不是第一次了。不到一个月前，我在虎扑发帖，有个男的就说，“去查了以后，发现这个女的居然真是牛津的”，还说“看了她，觉得牛津也没有那么难，我也可以试一试。”虽然我不知道他为什么会有这样的想法，但那一次，我就作了回应，“我知道去表达和分享，就要承载着被人评价和贴标签的功能。但如果你骂我以后，我就不表达了，这肯定是不行的。”(数学)。

9、入驻微博也是几乎同一时间，一直到2019年，我的微博虽然有了几十万粉丝，但我都还觉得它更多的是个人分享。我会在上面写日记，发看过的书、发工作上的喜悦或牢骚，也会转评一些热点新闻。后来不少人找过来让我签约公司，进行流量变现，我都没有答应，因为我把它们当成私人化的空间。我觉得不少人说我的社交媒体像营销号，可能恰恰是因为我不懂营销，视频都是我自己剪的，比较粗糙，可能不符合现在的网络审美。

10、数学能如此成功地诠释自然法则，精心挑选问题与答案仅是原因之一。这样的法则首先必须存在，数学才有用武之地。对数学家和物理学家来说，幸运的是我们这个宇宙看起来是被一些亘古不变的自然法则所支配的。决定宇宙最初结构的引力，同样也左右着今天的星系。为了解释这种以不变应万变的现象，数学家和物理学家发明了对称性的概念。

11、——正是这个原因，网友们开始反思此前的禁奥赛，这是不是过犹不及，走过头了呢？

12、撰文丨马里奥·利维奥(MarioLivio) 

13、去年教育部发文：全面取消体育特长生、中学生学科奥林匹克竞赛、科技类竞赛、省级优秀学生等全国性高考加分项目。

14、古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算。数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

15、如果高考零难度，公平起见，那大家只能摇号抽签读名校。

16、至此，你应该明白，数学在十九世纪的变革(从强调计算到注重理解)，只局限于以研究数学本质为己任的数学家群体。对于大多数的科学家，工程师以及其他在日常工作中用到数学的人来说，数学只是计算工具，直到今天依旧如此。甚至，计算在今天的重要性和广泛性远超历史的任何时期。

17、从安德雷斯库、冯祖鸣，再到此次带队的罗博深教授，连续接力，建立起了极优质的天才选拔与成长体系。他们大搞全美数学夏令营，让那些有天赋的孩子，获得脱颖而出的机会。

18、华氏定理：数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

19、这个工作，起初是由一个叫蒂图·安德雷斯库的胖老头负责。这个胖子就是个数学痴，一心扑在数学上，废寝忘食那种。

20、到十九世纪五十年代，黎曼根据可微性定义复函数，在此之前，伟大的高斯首次把带运算的集合作为数学对象加以研究，由此定义了模剩余类。高斯思想的后继者，戴德金，则进一步研究环，域和理想，而这些概念，也是带某类运算的集合。

21、国外顶尖高校的数学系规模普遍较小，而北大这边，新近众多高手的加盟让这里有了更多相互交流的可能性，在数论的研究方面逐步形成了某种规模优势。坐落在未名湖北畔静谧的国际数学研究中心，正成为数学研究蔓延生长的一方沃土。

22、数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受。

23、第二层级是道德型父母：舍得花时间，对孩子贴身保护，生恐孩子学坏。

24、关注|青春山东(ID：sdgqt2014)

25、——他们就是喜欢数学，单纯的喜欢，不带丝毫功利色彩，也不考虑什么优势不优势。

26、“我现在讲这个故事，感觉像讲另外一个小孩的故事一样。”说到自己结缘数学的童年经历，袁新意不由笑言。生活环境的变化为往事蒙上一层朦胧的雾气，但这场经历本身也不乏传奇色彩。

27、由此开始，数学家转向研究抽象函数的特征而非代数表达式，比如不同的起始值是否总能对应不同的函数值？(这样的性质叫做单射)这条抽象的道路为数学其中一个分支的发展立下了汗马功劳，这个分支即实分析。在实分析中，抽象函数的连续性与可导性是主要研究对象，所使用的“δ-ε(读作“德尔塔-埃普西隆”)定义”，直到今天，仍然是微积分课程的拦路虎。

28、十九世纪数学内部激增的复杂性引发了数学从计算到概念理解的变革，150年之后的今天，在社会变革是由更复杂的数学所推到的背景下，数学那一次变革的重要性就不仅仅是对数学家，而是对所有想应用数学的人！

29、除此以外，别人穿校服，只有我不穿。当时的我还很胖，患有鼻炎，被同学们叫“病菌”、“鼻涕虫”。因为大家都不怎么跟我玩，渐渐地，我不喜欢上学了。总是旷课。直到最后被校长退学。我妈非常不服气，她知道这不全是我的错。她决定让我在家自学。在中国的教育体制下，这样做的风险很高，是需要一定魄力的，但我妈妈承担了这种风险。可能也和她的教育背景有关，她16岁考上科大少年班，走的就是一条非常规的教育路径。

30、在深国交，我度过了四年。深国交的教学方式更符合我的特点。它更像一个大学，前两年有九门课，包括数学、物理、化学、生物、中文、商学、经济等等；后两年从这些课程里选五门深修，我选的是数学、物理、化学、经济、商学。除此以外，我们的课程形式很多，比如英文老师会带着学生写英文剧本，排演话剧。学生的想法也会被支持，如果你想举办一场时装秀，只要跟老师说，就会得到支持，学校甚至会帮你解决场地经费等问题。

31、学一个理论就像登山，攀登的过程很艰难，但一旦你登上去了，就能看到很远很广的地方。

32、2015诺贝尔物理学奖，荣耀归于中微子——那是个啥？

33、这场有关数学本性的辩论如今仍然火爆，似乎难以找到明确的答案。我认为，如果只是单纯地纠结于数学是被发明还是被发现的这个问题，或许会忽视另一个更为纠结复杂的答案：两者都起着关键作用。我推想，将这两方面因素结合起来，应该能解释数学的魅力。发明与发现并非势不两立；虽然消除它们之间的对立并不能完全解释数学的神奇效能，但鉴于这个问题实在是太深奥，即使仅仅是朝着解决问题的方向迈出一小步，也算是有所进展了。

34、近一百年来数学的发展可谓爆炸式。20世纪初，数学包含十二个子学科：代数，几何，分析以及其他。现在，这个数字增长到60～有些子学科比如代数或拓扑，可进一步分为子子学科，其他比如复分析或动力系统，则完全是新领域。数学自二十世纪八十年代以来爆炸式的增长，也革新了我们对数学的认识：数学是研究模式的科学。依据这个认识，数学的任务是界定并分析抽象的模式——数值的模式，形状的模式，运动的模式，表现的模式，选举的模式，可重复的随机性的模式等等。这些模式可以是真实的，也可以是想象的，可以是可见的，也可以不可见，可以是静态的，也可以是动态的，可以是定性的，也可以是定量的，可以是实用的，也可以是好玩的：从实际背景到思维创造，它们可以是世界的任何模式。不同的模式对应不同的数学分支，比如：

35、灵感迸发往往只是电光石火的一瞬，但背后却是袁新意持之以恒的思考和积累：

36、数学史上最让人百思不得其解的等式：0..=1

37、当然，考虑到中学课程安排的需要，上述情形容易理解，然而这种安排所导致的后果也不容小觑。尤其在当今世界，对数学的深度，广度，效力以及局限有一个基本的认识对于每一个人都大有裨益。这些年来，我(指KeithDevlin教授)见过许多数学相关专业的人，比如工程，物理，计算机甚至数学专业本身，他们告诉我，从小学到大学一路学下来，他们还是不知道数学到底是什么。只是在后来偶然的情形，当接触到数学某一部分真正的本质时，他们才开始感受到数学的魅力。

38、对十八世纪的数学家而言，计算和理解同样重要，十九世纪的革命只是二者孰重孰轻的区别。但六十年代高中老师的解读却是，“忘掉计算，专注理解”，这种荒谬的论调遭到数学家TomLehrer的嘲笑，他在自编的歌曲「新数学」中写道：答案不知道，方法最重要。最终，“新数学运动”几年后惨淡收场，退出高中。

39、举几个典型的此类操作的例子，看看它们是如何由函数构成的：

40、接下来的决定就简单多了，“既然要学数学，北大数学是最好的，当然是去北大数院”。

41、真正触动袁新意的是初一的数学竞赛。时隔一年，袁新意还是没有拿到任何奖项，在沮丧之余他开始思索：既然自己数学不错，也喜欢数学，为什么在数学竞赛中总是考不出好成绩？他很快意识到，城里孩子接受过高难度、系统性的竞赛训练，并养成了某些应对竞赛的思维方式，故而在考场上发挥好，于是袁新意突发奇想——他要自己训练。

42、到第一个千禧年的前半页，印度人发明进位制，伊斯兰世界的学者在后半页将其进一步深化，到中世纪欧洲南部掌握了这一方法，此后数学的发展未曾停步，持续至今。与此对照，中学的课程在包含上述内容之外，只增加了两门新课程：初等微积分和初等概率论。也就是说，过去三百年发展起来的学科无一入选中学课程，而我们用的大多数数学正好就是这二三百年发展起来的！

43、像大多数的变革一样，十九世纪的这次转变也有久远的渊源。古希腊时期，数学就从单纯的计算被提升到思维体操的高度，到十七世纪，微积分的另一发明人，莱布尼茨，则对数学的两方面都进行了研究。即便如此，直到十九世纪数学还是被当作解决问题的手段。生活在今天的数学家可能很难感受当时的冲击，而这场变革就这样悄悄地发生，渐渐地被遗忘，默默地影响数学的走向。本书就是在这样的背景下，怀着为读者提供理解现代数学的思维工具的使命而诞生。

44、现在看来第二个问题似乎更为复杂。毫无疑问，正因我们在使用数学方法时对题材进行了精心挑选，于是数学给我们留下了非常有效这种印象。但如果本来就没有什么普遍存在的规律等着我们去发现，那数学就完全无用武之地了。现在你可以这样问：为何会存在放之四海而皆准的自然法则？或者说，为何我们的宇宙被某些对称性以及局域性所支配？说实在的，我不知道答案，我只能说，在一个不存在上述特性的宇宙中，复杂性和生命或许永远也不会出现，我们当然也就没有机会提出这些问题了。

45、这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

46、这道难题的核心，在于数学家、物理学家、哲学家及认知科学家多少世纪以来一直争论的一个话题：数学究竟是如爱因斯坦所坚信的那样，是人们发明出来的一套工具，还是本来就已经存在于抽象世界中，不过被人发现了而已？爱因斯坦的观点源自于所谓形式主义(Formalism)学派，许多伟大的数学家，包括大卫·希尔伯特(DavidHilbert)、格奥尔格·康托尔(GeorgCantor)，以及布尔巴基学派的数学家，都与爱因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗雷·哈罗德·哈代(GodfreyHaroldHardy)、罗杰·彭罗斯(RogerPenrose)以及库尔特·哥德尔(KurtGödel)，则持相反观点，他们信奉柏拉图主义(Platonism)。

47、判断一个数学命题是否正确，归根结底都是寻找逻辑证明，而不是做个实验看看。例如对于哥德巴赫猜想，任何一个大于等于4的偶数都可以写成两个质数之和，人们早就尝试了很多个偶数，都没有找到反例(目前已经到了4 * 10^18这么大的数)。但这算是哥德巴赫猜想的证明吗？当然不是，没有数学家会认为哥德巴赫猜想已经被证明了。

48、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，Fn+1=Fn+Fn-

49、深国交也不对分数进行排名，只会公布第一名是谁。我跟很多人提过这件事：有一天，在教室里，我突然想，班上这么多人，总有一个人会是第一名，那个人为什么不能是我？这次之后我开始好好应试。第一年我得了年级第一。后面也经常是某个科目的第一名，总成绩一般在前十。但那时候的深国交，每年考上牛津剑桥的学生就只有五到六个。不像现在能有三十个之多。

50、十九世纪后半页的新数学成为大学数学的主旋律，但是高中的数学内容没有受到任何影响，正因如此，你需要一本这样的书(《IntroductiontoMathematicalThinking》)来完成思维的转变。事实上，六十年代有过所谓的“新数学”运动，但大学数学系的精神被高中严重曲解，以致运动很快就被叫停。

51、自由社会的教育政策就是这样，不知道未来会不会再来一次“新数学运动”？我们也不知道社会是否期待这样的改变，教育界就学生是否应该先掌握计算技巧然后再作抽象研究还有广泛的争议。 

52、实际上宏就是一种动作，或者操作的集合，其目的不是给出输出的数值，而是给出一系列动作。但归根就底，宏也是建立在堆叠的函数的基础上的，是一个封装的整体概念，它不过是强调了函数的过程属性而已。

53、早些年的时候，作家陈丹燕，带着读高二的女儿到美国。因为女儿在国内数学成绩优秀，就参加了学校的数学俱乐部。

54、通过函数集合的宏观化，函数就变成了“宏”(macro)——一种具有动作属性的整体概念，即操作。读到这里，读者应该可以联想到为什么excel里面的VBA程序会被称为“宏”。

55、在此之前，我没有出过国，牛津大学对我是一个很模糊的概念，我只是喜欢数学，对自己也有信心，觉得可以面上。面试时，我还穿了套童装西装，但老师们很好，只让我做数学题，没有因为我年龄小就拒绝我。我成了那一届里最年轻的华裔女学生。事实上，在牛津大学，全数学系的女生比例很少，可能只有25%，再往上到博士，女生就更少了。我也不清楚是被筛选掉了，还是报考者本来就少。不过，这些女生里，中国女生能占到50%以上，是很厉害的。

56、文艺复兴时期，艺术大师达芬奇和丢勒等人，把几何学上对图形的定量分析应用于一般的绘画艺术，画出非常美妙的作品。由黄金分割得到的黄金矩形，可以构造美丽的螺线——“黄金螺线”和“对数螺线”。

57、在科学的道路上是没有平坦大道的，可是“科学有险阻，苦战能过关”。“人生能有几回搏？”“ 人生总能搏几回！”每个大学生应当而且能够与高等数学“搏一搏。

58、这次观念革命，彻底改变了数学家对数学的看法。然而对数学家之外的人，世界依旧如常。人们真正感觉到变化，是从大学课程开始。比如说你是一个数学专业的大学生，初次接触“新数学”，结果被折磨地死去活来，你很可能会问候狄利克雷，戴德金，黎曼以及所有其他发明这些该死的知识的人。

59、左起分别为刘若川、恽之玮、袁新意、宋诗畅、肖梁、许晨阳

60、计算机的函数计算机也是建立在数学的原理之上，从计算机的本质上讲，计算机就可以被视为一种函数——一种物理实现的函数，它有输入，有输出。至少从物理原理上讲，它是以电脉冲信号作为输入，并输出电脉冲信号。而且计算机确保了函数的一个最基本特征，即有序对应(或者说映射)，相同的输入对应相同的输出，绝对不能出现相同的输入居然产生不同的输出的情况。所以，计算机本身就具备了函数的某些特质。

61、第一个被抽象化的概念大概是数字(中国的算筹)，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年。

62、印象最深的是，我爸当时教我拉格朗日中值定理，这是微分学中的基本定理之高等数学范畴。他讲得比较细，给我写了十多页草稿纸，我感到非常震撼，但也只懂了30%左右，他知道这对我来说是超纲内容，也不给我讲了，但我觉得很有意思，就按照自己的理解重新推导证明过程，每天给他看一点，他不会告诉我具体答案，只会说这一步做得对不对。我连续写了三十多天，才将证明过程完整写了出来，之后几天，我还是会每天写一遍，像玩通关游戏。

63、亚里士多德把数学定义为“数量科学”，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。

64、特性：对已经知道的情况必须用指定的符号来表示。

65、因而，数学命题的正确性，无法像物理、化学等以研究自然现象为目标的自然科学那样，能够借助于可以重复的实验、观察或测量来检验，而是直接利用严谨的逻辑推理加以证明。一旦通过逻辑推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。

66、了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率.研究随机现象,是在“偶然”中寻找“必然”,然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题,这就是偶然与必然的思想.

67、这些年的经验告诉我们，每一次产业升级都会产生巨大的人才缺口，这些人才必须具备相应的数学技能。实际上，如果更细致的考察这些技能，我们可以把它划分为两类。第一类，给定一个数学问题(即实际问题已经被归结为数学模型)，解决之。第二类，抛给一个实际问题，比如说制造问题，能否识别出关键因素并用数学语言表述出来(即建模)，然后解决之。

68、数学金牌主教练赵斌老师称：“此次中国队在罗马尼亚数学大师赛的成绩属于正常表现”。

69、回顾自己的本科经历，袁新意发现，迷茫、对未来不确定的确会不时造访，但他不会让自己徘徊太久，而是定一些短期目标让自己过得充实，然后路总会一步一步走出来的。

70、这对人类的认识方法产生了一大震动：光靠内省(“我心光明”)，或者天启(“上帝告诉我”)，或者权威(“亚里士多德说”)，或者哲学观点(“圆是最完美的形状，天体运行一定是完美的”)都不足以证明一个学说。真正的判据，是你应该向外看，亲眼去观察客观世界。如果实际观察否定了你珍爱的观点，那么你就得接受。

71、真正失落的，是那些徒有天资，但缺乏考试技巧的孩子。